Lineární regrese

Úvod

Daná datová sada $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, například $X_{i}$ a $Y_{i }$ jsou spojité. Cílem "Lineární regrese" je najít nejlepší čáru, která odpovídá těmto datům.

Jinými slovy, chceme vytvořit model:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

kde $p$ je počet rozměrů proměnné $X$.

V tomto článku uvidíme, jak tento problém vyřešit ve třech scénářích:

• Když je X jednorozměrné, tj. $p=1$.

• Když je X vícerozměrné, tj. $p>1$.

• Použití gradientu klesání.

$X$ je jednorozměrný (obyčejný nejmenší čtverec)

Model, který chceme vytvořit, má tvar:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Pamatujte, že cílem lineární regrese je najít čáru, která nejlépe odpovídá datům. Jinými slovy, musíme minimalizovat vzdálenost mezi datovými body a čárou.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Položme:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Abychom našli minimum, musíme vyřešit následující rovnice:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Začneme vytvořením první rovnice:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Do druhé rovnice dosadíme:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Nahradíme zpět v $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ je multidimenzionální (obyčejný nejmenší čtverec)

V tomto případě $X_{i}$ již není skutečné číslo, ale místo toho je to vektor velikosti $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Takže model je napsán následovně:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

nebo může být zapsán v maticovém formátu:

$\hat{Y} = X.W$

kde:

• $Y$ má tvar $(N, 1)$.

• $X$ má tvar $(N, p)$.

• $W$ má tvar $(p, 1)$: toto je vektor parametrů $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Podobně jako v prvním případě se snažíme minimalizovat následující množství:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Znovu dáme:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Protože chceme minimalizovat $L$ vzhledem k $W$, můžeme první výraz "$Y^TY$" ignorovat, protože je nezávislý na $W$ a pojďme vyřešit následující rovnici:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Použití gradientu klesání

Zde je formulace algoritmu sestupu gradientu:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Nyní vše, co musíme udělat, je aplikovat jej na dva parametry $a_{0}$ a $a_{1}$ (v případě jedné proměnné $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

a víme, že:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Podle náhrady:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Kvíz

• Jaký je vzorec vektoru optimálních parametrů v případě vícerozměrné lineární regrese:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "správně"

• Proč dáváme derivaci na 0?

• Abychom našli extrém. "opravit"

• Chcete-li minimalizovat derivaci.

• Ponechat pouze skutečnou část derivátu.

• Co je cílem lineární regrese?

• Chcete-li najít čáru, která prochází všemi body.

– Chcete-li najít řádek, který nejlépe popisuje data."správné"

• Chcete-li najít řádek, který nejlépe odděluje data.